DENKLEM SİSTEMİ

NOT : BULAMADIKLARINIZ KATEGORİLER BÖLÜMÜNDEDİR SINIFINIZI SEÇİNİZ !!!


BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Tanım: olmak üzere açık önermesine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. denkleminde; x yerine yazıldığında eşitliği sağlayan sayıya denklemin bir kökü, köklerin kümesine çözüm kümesi, çözüm kümesini bulmaya denklemi çözmek denir. denkleminin çözümü için üç hal vardır. denkleminin çözümü için ; 1- ve ise, çözüm kümesi dır. Örnek: , Örnekler: 1- denklemini çözelim. Çözüm : dir. (Verilen ifade bir özdeşliktir, için sağlanır.) 2- denklemini çözelim. Çözüm: Ø dir. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM olmak üzere, açık önermesine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. denkleminde. x’e verilebilecek her değer için bir y değeri bulunabilir. Bulunan (x,y) ikililerinden her birine denklemin bir çözümü denir. Çözüm kümesi sonsuz elamanlıdır. Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm : y=2x-1 x=0 için x=1 için x=2 için x=3 için x için y=2x-1 Örnek: denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x=0 için y=0 için dir. Tanım: İki veya daha çok denklemi birlikte sağlayan değerleri bulmak için verilen denklemlere, denklem sistemi denir. Örnek: denklem çifti birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemidir. Not Verilen bir denklem sisteminde, denklemlerden birine (veya ikisine birden) denk denklem alınarak kurulan yeni sistem, ilk denklem sistemine denktir. Örnek: denklem sistemi ile denklem sistemi birbirine denktir. olmak üzere, birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için aşağıdaki yöntemler kullanılır. • Yok etme metodu • Yerine koyma metodu 1) Yok etme metodu: Bilinmeyenlerden birinin katsayıları her iki denklemde eşitlenerek, denklemler taraf tarafa toplanır veya çıkarılır. Bulunan bir bilinmeyenli denklem çözülerek bulunan değer, ilk denklemlerden birinde yerine konarak diğer bilinmeyen bulunur. Örnek : bulmaya denklemi çözmek denir. denkleminin çözümü için üç hal vardır. denkleminin çözümü için ; 1- ve ise, çözüm kümesi dır. Örnek: , Örnekler: 1- denklemini çözelim. Çözüm : dir. (Verilen ifade bir özdeşliktir, için sağlanır.) 2- denklemini çözelim. Çözüm: Ø dir. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM olmak üzere, açık önermesine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. denkleminde. x’e verilebilecek her değer için bir y değeri bulunabilir. Bulunan (x,y) ikililerinden her birine denklemin bir çözümü denir. Çözüm kümesi sonsuz elamanlıdır. Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm : y=2x-1 x=0 için x=1 için x=2 için x=3 için x için y=2x-1 Örnek: denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x=0 için y=0 için dir. Tanım: İki veya daha çok denklemi birlikte sağlayan değerleri bulmak için verilen denklemlere, denklem sistemi denir. Örnek: denklem çifti birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemidir. Not Verilen bir denklem sisteminde, denklemlerden birine (veya ikisine birden) denk denklem alınarak kurulan yeni sistem, ilk denklem sistemine denktir. Örnek: denklem sistemi ile denklem sistemi birbirine denktir. olmak üzere, birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için aşağıdaki yöntemler kullanılır. • Yok etme metodu • Yerine koyma metodu 1) Yok etme metodu: Bilinmeyenlerden birinin katsayıları her iki denklemde eşitlenerek, denklemler taraf tarafa toplanır veya çıkarılır. Bulunan bir bilinmeyenli denklem çözülerek bulunan değer, ilk denklemlerden birinde yerine konarak diğer bilinmeyen bulunur. Örnek :  2) Yerine koyma metodu: Verilen iki denklemden birinde, bilinmeyenlerden biri diğeri cinsinden bulunur ve diğer denklemde yerine konur. Bulunan bir bilinmeyenli denklem çözülür ve bulunan değer denklemlerden birinde yerine konarak diğer bilinmeyen de bulunur.

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECE DENKLEMİ Babilliler, Mısırlılar ve Çinlilerde x + y = a ve x - y = b denklem çiftinde, yanlışı ılı memeyle x = (a + b)/2 ve y = (a-b)/2 olduğunu biliyorlardı. Çinliler ayrıca matris bloklarını ve bambu çubukları kullanarak bu denklem sistemini çözebiliyorlardı. Daha sonraki gelen halklarda bu geometrik şekilleri kullanarak bu denklem sistemine sayısal çözümler bulmuşlardır. Eski halklarda sistemli bir ispat yöntemi bulunmadığından hu tür işlemler daha çok deneme biçiminde yürütülüyordu. Çinlilerde de sistemli bir ispat yöntemi yoktu. Bunları söylerken, eski Babil, Mısır ve Çin anlatılıyor. Çinlilerin ikinci derece denklemine dönüşen problemleri Dokuz Bölüm isimli kitapta iki tane denklemle verilir. Bu denklemler arasında bilinmeyenin birisi yok edilerek sonuçta ikinci derece denklemi bulunur. Sonra denklem kendi yöntemleriyle çözülür. Çinlilerin Dokuz Bölüm isimli kitabındaki 11. problem şöyledir. Bir kapının boyu eninden 6.8 birim daha fazladır. Kapının köşegeninin uzunluğu da 10 birimdir. Kapının enini ve boyunu hesaplayınız. Problemin ifadesine göre boyutlar x ve y ise x-y = 6.8 ve x2 + y2=100 denklem çifti yazılır. Çinliler bu problemi daha çok Pisagor yöntemiyle çözerler. Eğer bu problemi biz x - y = d ve x2 + y2 = c2 biçiminde yazarsak, (x + y)2 = 4xy + (x - y)2 ve c2 = 2xy+(x - y)2 yada 4xy = 2c2 - 2(x - y)2 yazılır. Buradan (x + y)2 = 2c2-(x - y)2 ya da x+y= yazılır. Eşitliğin her iki yanı 2 sayısıyla bölünürse, olur. Buradan x +y = 12.4 gelir. x-y = 6.8 olarak verilmişti. Buradan x = 9.6 ve y = 2.8 olarak bulunur. Çinlilerin Dokuz Bölüm isimli kitaplardaki problemler daha çok doğrusal ve ikinci derece olan denklem sistemleri biçimlerine dönüşür. Bu tür örnekler Çinlilerde fazladır. Oysa Eski Babillilerdeki tabletler x + y = b ve xy = c biçimlere dönüşen problemlerle doludur. Babillilerin problemleri daha çok alan ve çevre türünde düzenlenmiştir. Alanı c ve çevresi 2b olan çok sayıda Babil tableti bulunmuştur. Bu tabletler x = b/2 + z ve y = b/2 - z boyutlu dikdörtgen ve c alanı t. . (b/2 + z) (b/2 - z) = (b/2)2 - z2 biçiminde alınarak hesaplar yapılmıştır. Bu hesaplamalara göre olur. Buradan ve y = değerleri istenilen denklem sisteminin çözümüdür. Burada yazdığımız modern gösterimler, Babillilerin tabletlerinde yapılan çözümlerin yorumlanması ve açıklanması türendedir. Babilliler aslında formül vermemişlerdir. Her problemi çözerken çözümde kullandıkları yöntemler bunlardır. Babilli yazıcılar bu işlemi geometrik olarak nasıl yapmışlar ve nasıl tabletlere geçirmişlerdir? Şimdi onu gösterelim. Yine x + y = b ve xy = c olarak verilsin. Burada x değerine uzun kenar ve y değerine de kısa kenar diyorlar. Daha kısa deyimle x uzunluk ve y de genişlik olarak alınıyor. Buna göre problemin ifadesinden genel olarak x + y = b ve xy = c gösterimleri geliyor. Modern dille bu iki denklem sisteminden uzunluk denen x ve genişlik denen y değeri hesaplanacak. Bu hesaplamaları geometrik olarak şu şekle dayandırıyorlar. Yani komutlarından böyle yaptıkları anlaşılıyor. Önce b sayısını ikiye bölüyor ve b/2 kenarlı kareyi çiziyor. Burada b/2 = x - (x - y)/2 = y + (x - y)/2 biçiminde ve b/2 = (x + y)/2 olduğundan, b/2 kenarlı karenin üa-nı xy = c alanından (x - y)/2 kenarlı karenin alanı kadar daha fazladır. Yani, x+y=b ve xy=c olan denklem sisteminin çözümünün geometrik yorumu olur. Yukarıdaki şekle göre b/2 sayısına sayısını bir kez ekler ve bir kez de çıkarırsak sırasıyla

SORU-1 :

 

SORULAR

   1)2x 2 - 8x  + 6 = 0  denklemini çözünüz.

 

CEVAP-1 :

 

  â??  = 8 2 - 4 . 2 . 6 = 16  ve 16 >0 olup farklı iki çözüm vardır.  x 1 = ( - (-8) + √ 16 ) / 2 . 2 = ( 8 + 4 ) / 4 = 3   ve x 2 =  ( - (-8) - √ 16 ) / 2 . 2 = ( 8 - 4 ) / 4 =  1  olur. Ç = { 1 , 3 }

 

SORU-2 :

 

 2)  x 2 + 4x -2 = 0 denkleminin  kökleri x 1 ve x 2 dir.  Kökleri  x 1 + 3  ve  x 2 + 3  olan denklemi bulunuz.

 

CEVAP-2 :

 

  Denklemin kökler toplamı  -4 / 1 = -4  ve kökler çarpımı  (-2) / 1 = -2  dir.  Kurmak istediğimiz denklemin kökler toplamı  T =  x 1 + 3  +  x 2 + 3  = -4 + 6 = 2 dir.  Kökler çarpımı ise Ç = ( x 1 + 3 ) . ( x 2 + 3 ) =  x 1 . x 2  + 3 . ( x 1 + x 2 ) + 9 = -2 + 3 . (-4) + 9 = -5 olur. Denklem  x 2 - Tx + Ç = 0  şeklindedir.  x 2 - 2x  - 5 = 0  aradığımız denklemdir.

 

SORU-3 :

 

 3) x 2 + xy =12            denklem sistemini çözünüz.

  xy  + y 2 = 4

 

CEVAP-3 :

 

  Birinci ve ikinci denklem taraf tarafa toplanırsa x 2 + 2xy + y 2 = 16  ve taraf tarafa çıkarılırsa            x 2 -  y 2 = 8 denklemleri elde edilir. ( x + y ) 2 = 16  ise x + y = 4  veya x + y = - 4 olacaktır.

x 2 -  y 2 = 8  ifadesi   x + y = 4   ve x + y = - 4 ifadeleriyle taraf tarafa ayrı ayrı bölünürse  x - y  = 2 ve x - y = -2 elde edilir.  

   x + y = 4             ve        x + y = - 4         denklem sistemleri ayrı ayrı çözülürse   x = 3 , y = 1   ve

   x - y  = 2                         x - y = -2          x = -3 , y = -1 olur.

Ç = { (3 , 1) , (-3 , -1) }

Yorum Yaz